古希腊哲学家芝诺就物体的运动问题提出过一些悖论，两千多年来一直打扰着人们的思绪。最有名的也最能代表他的观点的自然是那只乌龟。当乌龟与古希腊神话中的英雄阿喀琉斯赛跑时，乌龟起先领先一段距离，当阿喀琉斯追到乌龟起初位置时，乌龟向前爬了一段距离，阿喀琉斯追到新的地点时，乌龟又向前爬了一小段距离，这个过程可以无限进行下去，结论就是阿喀琉斯可以无限接近乌龟，但永远也追不上它。

从现代的观点来看，它反映的是关于无限概念的一些反直觉的性质。在极限与连续这些概念基础上发展出来的微积分理念看来，一个无限的过程可以在有限的时间之内完成，或者说，一条无限长的直线上的点可以和一段有限长的线之间建立一种一一对应的联系。比如在某个圆外有一条直线，直线上的任意一点与圆心的连线必定通过圆上的一点，直线上的无穷远点则可以对应与直线平行的那条直径的端点，这样就可以在有限与无限之间建立联系。这样的一一对应关系显然不是唯一的，通过正切函数或反正切函数，也可以在有限与无限之间形成一一对应。显然，有限与无限若要形成一一对应，必须应用非线性的变换关系，线性变换是无法实现这种对应的。

广义相对性原理使我们可以在任意参考系中获得相同的物理规律，而任意参考系之间的坐标变换一般是非线性变换，因此求解广义相对论的场方程会得到一些奇怪的效应，最明显的就是黑洞解。一个物体经自由落体掉进黑洞的过程，在不同参考系中就有不同的结果，以物体本身为参考系，下落速度越来越快，并经历有限的时间穿过黑洞视界落向中心奇点。而在远处的观察者看来，物体下落的越来越慢，需要无限长的时间才能到达黑洞视界，这就是一种典型的乌龟效应，不同参考系之间的差别由于存在非线性的变换，可能是有限与无限之间的差异。如果我们将远处观察者的参考系称作乌龟参考系，随物体一起运动的参考系称为阿喀琉斯参考系，显然，阿喀琉斯的参考系更加优越，它不但描绘了物体从远处下落到视界面的整个过程，还可以讨论穿过视界之后是什么样子。

阿喀琉斯追上乌龟之后，并没有结束，而是超过它继续向前跑。显然，如果用乌龟参考系中的那套逻辑规则，阿喀琉斯追上乌龟之后的过程就无法讨论了，它超出了乌龟物理量的适用范围。那么我们在现实的领域里是否也犯了和乌龟同样的错误，限制了我们的认知呢？或许存在某些超阿喀琉斯参考系，从这个参考系的观点来看，阿喀琉斯也是一只乌龟，我们遇到的所谓无限实际上对应某个有限的区间，而一些物理量在此区间之外仍然有意义。这样我们就可以将认知扩展到以前未曾涉足过的领域，从而发现新的现象和规律。

狭义相对论中，固有时和坐标时之间、固有长度和坐标长度之间以及静止质量和相对论质量之间也是一种非线性的变换，与之密切相关的现象就是，为保证坐标时、坐标长度和相对论质量有意义，物体的运动速度不能超过光速，否则就会出现纯虚数的时间、长度和质量。我们不知道纯虚数的这些量代表着什么，意味着什么，但是为了寻求突破，我们应该试图去理解和解释它们，而不是简单粗暴的认为它们无意义了事。支持这种说法的一个理由是，黑洞视界外远处的观察者只能理解物体掉落进黑洞之前的现象，在这个参考系中，讨论黑洞内部会导致纯虚数，我们不知道它代表什么意义，然而物体掉落进黑洞并且在黑洞内部继续运动的确是一个真实的物理过程，我们可以在随物体一起运动的参考系内理解并描述它们。通过某种被称为克鲁斯卡坐标变换的非线性变换，不仅黑洞视界处的奇异性消失，而且将宇宙分成了四个区域，第一个是我们普通的时空，第二个是黑洞内部时空，第三个是一个与我们的普通时空通过虫洞相联系的另一个宇宙，但只有超过光速才能够穿越虫洞来到这个世界，而第四个描述的是白洞内部的时空。克鲁斯卡坐标让我们追上了乌龟，发现在乌龟前面还有新的内容，它预言了两个我们至今毫无证据的新世界。

现在回过头来分析狭义相对论中，当速度越过光速时，时间、位置以及质量或能量产生的纯虚数现象。在量子论中某个核心概念里也有虚数出现，那就是波函数或者概率幅。传统意义上的概率是一个经典概念，是0到1区间内的任意实数，但是概率幅是概率的“平方根”，是一个复数，存在两个自由度，即概率幅的模和相位。虚数出现在这里表明概率幅不仅有大小，还有相位，这也是波函数能够相互干涉的根本原因。在复平面内我们发现，纯虚数代表着与实数之间存在90°的相位差，纯虚数的世界是一个与现实世界互相垂直，互不相关的平行世界。因此或许存在这样的可能，位置、时间、甚至质量等传统上只能是实数的概念，它们的类似平方根的概念会是一个复变函数，是一种更加基本的概念，它们或许也存在类似相位的概念，从而可以让我们计算那个存在超光速现象的平行世界中的物理过程。

我们的许多重要的理论之所以是线性的，很多时候并不是因为现实世界也是线性的，而是因为我们的数学可以轻松的处理大量的线性问题，而对一些非线性方程缺乏分析的手段。由于在数学领域关于非线性问题的解法太少，所以容易给人一种世界是由线性规律描述的错觉，只有充分利用非线性变换的性质，才能够驾驭无限，让我们超过乌龟，发现乌龟前面的东西。