第一个无理数是由古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现的，他应用当时该学派发现的毕达哥拉斯定理证明，边长为1的正方形的对角线根号2是一个无理数，不能用任何整数的比例进行描述。毕达哥拉斯定理的发现让该学派欣喜若狂，杀了一百头牛庆祝，因此又称百牛定理。然而无理数的发现不仅没有给希伯索斯带来荣耀，反而惹来杀身之祸，该学派成员将希伯索斯扔到水里淹死了。许多人在学到无理数时对这段历史非常困惑，无理数不过是数轴上一些普通的点罢了，好像没有什么难理解的地方，为什么聪明的毕达哥拉斯学派会有这么激烈的反应，甚至以聪明著称的数学界会将无理数的发现称为第一次数学危机呢？

毕达哥拉斯学派崇尚一种完美与和谐的理念，提出了万物皆数的观点。那时的数学、物理学与哲学还没有分家，可以统称为自然哲学，人们希望能够建立起一套逻辑上自洽的完美理论用来解释一切。当一套理论建立起来，而且能够描述或解释很多现象时，就会被人们接受，并且心安理得的将它应用到更广的领域。这些观点和解释最终错综复杂，盘根错节的形成一个统一的整体。这个体系给人们带来了自信、安逸和幸福，因为有了它，一切现象似乎都可以解释清楚，一切问题似乎也都有了答案。

无理数的发现让数学的基础逻辑产生了裂痕，它第一次表明，人们的直觉和经验是不可靠的，尽管很多结论可以从直觉和经验中获取，但是它们的正确性还需要证明才能确立。有理数的稠密性让人们直觉的以为有理数与直线上的点是一样多的，以直线为基础的几何结构构成了现实世界，而有理数可以刻画和精确描述直线，因此万物皆数，一切都可以用数来描述，有理数系统可以完美的刻画客观事物的所有性质。但是无理数让人们第一次发现，稠密性和连续性居然是两个不同的概念，在稠密的有理数之间居然还有大量的空隙。任意两个有理数之间都能找到新的有理数，这样一种在数轴上稠密的数集，从直觉的角度看，应该和连续是一样的，可无理数的发现表明，它们不一样。起初大家认为的同一个概念现在分裂成了两个不同的概念，人们也终于迎来了一次认识上的突破，同时认识到逻辑思维的强大能力，它提高了我们认识世界的分辨率。这种直觉与逻辑的直接对抗迫使人们不得不检验之前所有的直觉概念，并建立起一套新的公理和逻辑体系用来检验直觉和证明新的概念。有人会觉得，这个问题有这么严重吗？将无理数纳入数的范畴，将原来的有理数概念替换为实数，认为直线与实数一一对应不就可以了吗？可是我们往往小看眼前的困难，我们怎样保证包含了无理数的实数不是更高一级的“有理数”，怎么保证实数是连续的而不仅仅是稠密的呢？直到19世纪末，无理数才在公理集合论的框架里实现了逻辑上的一致性。

包含了无理数的实数概念是数学与现实世界的桥梁。现实世界是几何的，可以通过点、线、面和它们构成的形状来描述，而数是抽象的，是人们思维的产物。因此，只有确认了实数与现实之间的对应，才能为万物皆数的观点提供证明，我们也才能用数的概念更加精确的理解现实。由于数的概念在数学中处于核心和基础的地位，数与现实世界如何联系，以怎样的方式反映现实世界的状态和过程就显得尤为重要，因此每一次对数的概念的扩充都会对数学界产生深远的影响。

万物皆数是毕达哥拉斯学派的理想和逻辑基础，少了共同的逻辑基础，人们往往会陷入怀疑论的沼泽里，疲于奔命的证明那些基础不够牢靠的东西，就连作为公理的基础本身也是值得怀疑的，他们甚至不再相信理论的预言。他们会说，我们可以观测到太阳表面大约是5500度，可凭什么说太阳中心是2000万度呢，中心温度不是直接观测到的，只是一种推测而已。可是如果少了这些理论预言和合理推测，我们的知识将变得残缺不全，支离破碎，丧失大量珍贵的知识。因此，我们需要某种构筑在理论上的逻辑基础，理论强大的预言能力使我们相信，是理论和观测两者（而不仅仅是观测本身）共同构成了我们的知识体系。而如果过于相信逻辑基础，很可能固步自封，自以为是，躺在前人构造的安乐窝里，拒绝和排斥自己掌握的逻辑体系之外的新事物，无理数的发现就是一个典型的例子，新事物的出现固然使我们经历痛苦不堪的思维转变，但同时往往意味着一场真正的变革。显然，这两种态度的极端都是不可取的，它们应该保持某种微妙的平衡，而不是走向两极。为了获得完美的知识图像，我们需要科学的逻辑体系，但是同时应该学会对待它的态度。